Закрыть ... [X]

Флексагон – увлекательная математическая игрушка

Разделы: Внеклассная работа

Цели и задачи:

  • изучить мир флексагонов, флексоров и флексманов.
  • вызвать интерес к изучению математики.
  • способствовать развитию творчества, логического мышления учащихся.
  • развивать познавательную деятельность учащихся.
  • показать на занятии ряд математических игрушек.

Презентация “Флексагоны,флексоры, флексманы

Содержание:

Все мы любим занимательную математику.Занимательная математика пробуждаетнаблюдательность, умение логически мыслить, верув свои силы. Элемент игры, который делаетзанимательную математику занимательной, можетиметь форму головоломки, состязания, фокуса,парадокса и т.д. Относится ли занимательнаяматематика к чистой или прикладной математике? Содной стороны, занимательную математику,безусловно, следует считать математикой безмалейшей примеси утилитарности. С другойстороны, она, несомненно, относится к прикладнойматематике, ибо отвечает извечной человеческойпотребности в игре.

Вероятно, такая потребность в игре лежит воснове даже чистой математики.

Не так уж велико различие между восторгомчеловека, сумевшего найти ключ к сложнойголоволомке, и радостью математика,преодолевшего еще одно препятствие на пути крешению сложной научной проблемы. И тот и другойзаняты поисками истиной красоты – того ясного,четко определенного, загадочного ивосхитительного порядка, что лежит в основе всехявлений. Неудивительно поэтому, что чистуюматематику порой трудно отличить отзанимательной.

Многие считают, что математика не интересна исостоит только из формул, задач, решений иуравнений. Я хочу продемонстрировать своейработой, что математика разноплановая наука, иглавная цель – показать, что математика оченьудивительный и необычный предмет для изучения.

Я приглашаю на короткую экскурсию в загадочныймир флексагонов, флексоров, флексманов, -бумажных игрушек, обладающих поразительнойспособностью внезапно менять свою форму и цвет.

 1. Флексагоны – этомногоугольники, сложенные из полосок бумагипрямоугольной или более сложной формы, которыеобладают удивительным свойством: приперегибании флексагонов их наружние поверхностипрячутся внутрь, а ранее скрытые поверхностинеожиданно выходят наружу. Если бы не однослучайное обстоятельство – различие в форматеанглийских и американских блокнотов, -Флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сейдень и многие математики лишились быудовольствия изучать их замысловатую структуру.

1.1 История открытия

Это произошло в конце 1939 года. Как то раз АртурХ. Стоун, 23 летний аспирант из Англии, изучавшийматематику в Принстоне, обрезал листыамериканского блокнота, что бы подогнать их подпривычный формат. Желая немного развлечся, Стоунпринялся складывать из отрезанных полосокбумаги различные фигуры. Одна из сделанных имфигур оказалась особенной интересной. Перегнувполоску бумаги в трех местах и соединив концы, онполучил правильный шестиугольник (рис. 1,2), Взявэтот шестиугольник за два смежных треугольника,Стоун подогнул противоположный угол вниз так,что его вершина совпала с центром фигуры. Приэтом Стоун обратил внимание на то, что когдашестиугольник раскрывался словно бутон, видимойстановилась совсем другая поверхность. Если быобе стороны исходного шестиугольника были быразного цвета, то после перегибания видимаяповерхность изменила бы свою окраску (рис. 3). Такбыл открыт самый первый флексагон с тремяповерхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоуннаутро убедился в правильности своих чистоумозрительных заключений: оказалось, можнопостроить и более сложный шестиугольник с шестьюповерхностями место трех.

Постоянные модели были названыгексафлексагонами: “гекса” - из-за ихшестиугольной формы, “флексагонами” - из-за ихспособностями складываться. Первый построенныйСтоуном флексагон был назван тригексафлексагон,так как у него было три поверхности. Вторая, неменее изящная модель Стоуна получила названиегексагексафлексагона (первое “гекса” - шесть –также означает число поверхностей этой модели).

От греческого “гекс”, что означает шесть.

To flex (англ.) – складываться, сгибаться,гнуться.

1.2 Складываниегексагексафлексагона

Чтобы сложить гексагексафлексагон, берутполоску бумаги, разделенную на девятнадцатьравносторонних треугольников. В треугольнике содной стороны нужно вписать цифры 1, 2, 3.Девятнадцатый (последний) треугольник остаетсянезаполненным. Треугольники на обратной сторонеследует пронумеровать цифрами 4, 5, 6. После этогополоску складывают так, чтобы треугольники на ееобратной стороне, имеющие одинаковые цифры,оказались наложенными друг на друга флексагон – увлекательная математическая игрушка – 4 на 4, 5 на 5,6 на 6. В результате у нас получится заготовкагексагексафлексагона. Перегнув ее по линиям ab иcd, получим шестиугольник. Остается лишьподвернуть вниз торчащий вправо пустойтреугольник и приклеить его к пустомутреугольнику на нижней стороне полоски.

Если все сделано верно, то во всехтреугольниках на видимой стороне шестиугольникадолжна стоять цифра 1, а во всех треугольниках надругой стороне – цифра 2. В таком видегексафлексагон готов к перегибаниям. Взявшись задва смежных трегольника, согнем шестиугольник пообщей стороне этих треугольников и подогнемпротивоположный угол флексагона при этомоткроются треугольники с цифрами 3 или 5.Перегибая флексагон наугад, обнаружатся и другиеповерхности однако поверхности с цифрами 4, 5 и 6найти несколько труднее, чем поверхности сцифрами 1, 2 и 3.

1.3 Путь Таккермана

Таккерман довольно быстро нашел простейшийспособ выявления всех поверхностей любогофлексагона: держа флексагон за какой либо угол,следует открывать фигуру до тех пор, пока она“открывается”, а затем переходить к следующемууглу. Этот метод, известный как “путьТаккермана”, позволяет увидеть все шестьразворотов гексагексафлексагонов за один циклза двенадцать перегибаний. Поверхности с цифрами1,2 и 3 будут появлятся в три раза чаще, чемповерхности с цифрами 4,5 и 6. Путь Таккерманаудобно изображать в виде схемы. Стрелкиуказывают в каком порядке становятся видимымиповерхности флексагона. Схемы такого типапригодны для исследования любой разновидностифлексагонов.

Полная математическая теория флексагонов быларазработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимовсего прочего, теория указывает точный способпостроения флексагона.

2. Вращающиеся кольца тетраэдров– эта цепочка из тетраэдров обладаетудивительной способностью изгибаться ивыворачиваться до бесконечности, все время меняясвою форму. Кольцо из тетраэдров – это первыйпример флексора – изгибаемого многогранника.

Дж.М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг отдруга открыли семейство изгибаемых конечныхмногогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (изкоторых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; nможет равняться 6, 8 или любому большему целомучислу. Гранями служат грани n тетраэдров,соединенных между собой в циклическом порядке поопределенным парам противоположных реберкаждого, так что получается фигура наподобиекольца. При n = 6 эта фигура еще достаточно жесткая,но при n = 8 она уже может изгибаться ивыворачиваться до бесконечности, как колечкодыма. Когда n четно, фигура стремится принятьсимметричную форму; особенно хороша она при n = 10(рис. 4). Когда n нечетно, из-за полного отсутствиясимметрии картина становится, пожалуй, еще болеезахватывающей. При n, большем или равном 22, кольцоможет заузливаться.

2.1 Изготовление флексора

Для изготовления модели кольца достаточноодного листа. В случае n = 6, нужно разместитьфигуру, состоящую из 24 правильных треугольникови 9 клапанов. Вырезав ее, нужно сделать сгибы повнутренним линиям – по штриховым линиям вверх, апо пунктирным вниз – и приклейте клапаны всоответствии с буквенными обозначениями.

 img3.gif (11156 bytes)

 2.2 Спор осуществовании флексора

Кольцо из тетраэдров как изгибаемыймногогранник вызывает ряд возражений. Во- первых,в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, ккоторым подходят по четыре грани. Так чтонепонятно, стоит ли называть это кольцомногогранником.

Чтобы избежать всяких сомнений, при поискефлексоров можно было бы ограничиться тольковыпуклыми многогранниками, т.е. многогранниками,лежащими по одну сторону от каждой из своихграней. Но имеется знаменитая теорема Коши о том,что любой выпуклый многогранник неизгибаем. Онабыла доказана в 1813 году. Хотя эта теорема неисключала существования невыпуклых флексоров,но многие математики считали, что и такихфлексоров тоже не существует.

2.3 Магическое кольцо из восьмитетраэдров – является магическим внескольких смыслах. На нем расположены числа от 1до 32. Четыре грани каждого тетраэдра дают в сумме66; соответствующие грани, взятые по одной изкаждого тетраэдра дают в сумме 132 (например,9+7+17+31+10+8+18+32 = 132) – то же самое получается длявосьми наборов из восьми граней, которыеспирально обвиваются вокруг кольца (например,1+12+31+21+2+11+32+22 = 132).

Магическое вращающееся кольцо

3. Флексманы – это существа,населяющие мир флексагонов и флексоров.

3.1 Изготовление флексмана.

Надо вырезать из плотной бумаги квадрат состороной 15-20 см. Его нужно согнуть по диагоналямсгибом вверх и по штриховой линии сгибом вниз(рис 5). А затем сложить чтобы получилсятреугольник. Теперь нужно будет проделать четыреодинаковые операции. Результат первой из них –сгиб по штриховой линии рисунка 5, б – изображенна рисунке 5, в, окончательный результат – нарисунке 5, г. Остаются еще четыре одинаковыезавершающие операции – отгибание маленькихтреугольничков, и перед нами – флексман.

3.2 Свойство флексмана

Самое примечательное свойство флексманов –это их умение ходить по наклонным плоскостям.Стоит поставить флексмана на достаточно пологуюнаклонную плоскость, и он тут же начинает мелкимишажками спускаться по ней. Каждый из флексмановобладает своеобразным характером или, уж вовсяком случае, своеобразной походкой.

Рекомендация:

На следующих занятиях все эти математическиефигуры можно с учениками сделать наглядно.

Все эти игрушки приводят ребят в восторг.


Источник: http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/506953/


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:



Флексагон увлекательная математическая игрушка Платье с подсолнухами


Флексагон – увлекательная математическая игрушка Флексагон – увлекательная математическая игрушка Флексагон – увлекательная математическая игрушка Флексагон – увлекательная математическая игрушка Флексагон – увлекательная математическая игрушка Флексагон – увлекательная математическая игрушка


ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ